Hur vet man vad ett arcsin är

Ursprungligen definierade oss sinus samt cosinus utifrån ett spetsig vinkel inom ett rätvinklig triangel. inom samband tillsammans med för att oss introducerade enhetscirkeln utvidgade oss definitionen från sinus samt cosinus sålunda för att oss för tillfället hanterar godtyckligt stora vinklar.

I detta denna plats avsnittet bör oss bygga vidare vid vilket oss kommit fram mot ifall sinus samt cosinus till olika vinklar genom för att börja titta vid trigonometriska funktioner samt deras attribut.

Trigonometriska funktioner existerar många användbara till för att förklara mot modell periodiska fenomen samt förekommer inom flera olika sammanhang.

Sinus- samt cosinusfunktionerna

På identisk sätt såsom oss tidigare äger definierat funktioner tillsammans hjälp från oberoende samt beroende variabler, är kapabel oss för tillfället presentera trigonometriska funktioner.

ifall oss låter \(x\) beteckna ett oberoende variabel samt \(y = f(x) \) enstaka beroende variabel, är kapabel oss notera sinusfunktionen således här:

$$f(x)=\sin\,x$$

På motsvarande sätt kunna oss notera cosinusfunktionen därför här:

$$f(x)=\cos\,x$$

Undersöker oss dessa båda funktioners respektive definitionsmängd samt värdemängd, sålunda ser oss för att båda funktionerna idag existerar definierade till samtliga reella värden samt för att värdemängden på grund av respektive funktion är

$$-1\leq f(x)\leq 1$$

Skissar oss dessa funktioners grafer inom en rätvinkligt koordinatsystem, därför antar kurvorna formen från vågor tillsammans med funktionsvärden likt återkommer tillsammans med jämna mellanrum tillsammans avseende vid den oberoende variabeln.

Nedan kunna oss titta enstaka sinuskurva skissad inom en koordinatsystem.

Här nedan äger oss vid motsvarande sätt enstaka cosinuskurva.

För sinusfunktionen gäller för att då x = 0° därför bli f(0°) = 0.

Ofta kallas arcsin var \(\sin^{-1}\), samt analogt på grund av cos samt tan.

då x ökar ifrån 0°, ökar även funktionsvärdet. Denna ökning fortgår fram mot dess x = 90°, då f(90°) = 1. Därefter avtar funktionsvärdet successivt ner mot dess x = 270°, då f(270°) = -1. Efter detta lägsta funktionsvärde ökar åter funktionsvärdet samt nära x = 360° blir f(360°) = 0.

Du är kapabel ta arcsin från 1/10 samt ni är kapabel ta arcsin från 0.1 (vilket existerar 1/10), ni kommer erhålla identisk svar.

Efter detta variabelvärde återkomma mönstret tillsammans med perioden 360°.

På identisk sätt är kapabel oss analysera funktionsvärdena på grund av sinusfunktionen då den oberoende variabeln x äger enheten radianer istället på grund av grader. Dock gäller detta för att existera klar tillsammans med vilken avdelning den oberoende variabeln har.

Om oss vid motsvarande sätt likt till sinusfunktionen studera cosinusfunktionen samt dess kurva, sålunda märker oss snart för att den existerar identisk tillsammans med sinusfunktionen tillsammans den skillnaden för att den existerar förskjuten inom "sidled" (den oberoende variabelns värde) - cosinuskurvan är kapabel sägas ligga ner 90° (π/2 radianer) "före" sinuskurvan, eftersom dem båda funktionerna äger identisk värde angående oss adderar 90° (eller π/2 radianer) mot värdet vid den oberoende variabeln på grund av sinusfunktionen.

Exempelvis existerar cos 0° = sin 90°.

Amplitud

Som oss redan besitter kommit fram mot existerar värdemängderna till såväl sinus- liksom cosinusfunktionen

$$-1\leq f(x)\leq 1$$

Om oss önskar för att enstaka sinus- alternativt cosinusfunktions funktionsvärden bör tillåtas variera mellan andra värden än dessa, då är kapabel oss ändra dess amplitud.

Utgår oss ifrån den ursprungliga sinusfunktionen

$$f(x)=\sin\,x$$

så är kapabel oss mot modell öka amplituden tillsammans med enstaka faktor 2 genom för att istället notera funktionen sålunda här:

$$f(x)=2\sin\,x$$

Denna funktion kommer för att äga identisk definitionsmängd såsom den ursprungliga sinusfunktionen, dock dess värdemängd kommer för att bli

$$-2\leq f(x)\leq 2$$

Skissar oss den ursprungliga sinusfunktionens kurva (röd färg inom figuren nedan) samt kurvan likt hör mot sinusfunktionen likt besitter amplituden 2 (blå färg inom figuren) inom identisk rätvinkliga koordinatsystem, således får oss följande:

På motsvarande sätt är kapabel oss utföra tillsammans cosinusfunktionen samt till andra amplituder än 2.

Om oss besitter enstaka given sinus- alternativt cosinuskurva uppritad inom en rätvinkligt koordinatsystem, dock ej besitter passage mot funktionsuttrycket, således existerar detta ofta enklast för att besluta funktionens amplitud genom för att studera från samt beräkna halva differensen mellan funktionens största samt minsta värden.

Period

Vi besitter tidigare kunnat titta för att sinus- samt cosinusfunktionerna besitter ett period vid 360° (2π radianer).

Men man förmå även vandra åt andra hållet samt beräkna vinklar baserat vid trigonometriska värden.

Dock kunna detta ju existera därför för att oss önskar äga enstaka sinus- alternativt cosinusfunktion tillsammans någon ytterligare period.

För för att ändra enstaka sinus- alternativt cosinusfunktions period, introducerar oss ett faktor före den oberoende variabeln inom funktionsuttrycket. på det sättet äger sinusfunktionen

$$f(x)=\sin\,2x$$

en period vid 180° (π radianer).

För för att inse för att denna funktion kommer för att äga halva perioden jämfört tillsammans med den ursprungliga sinusfunktionen, kunna reflektera vid vilka värden uttrycket 2x får till olika värden vid x.

till en självklart värde vid variabeln x kommer 2x för att äga detta dubbla värdet, vilket oss sedan bör beräkna detta trigonometriska värdet till. på det sättet kommer denna trigonometriska funktion för att äga halva perioden.

Skissar oss upp grafen mot funktionen f(x) = sin 2x inom en rätvinkligt koordinatsystem, därför kommer oss för att titta för att kurvan besitter dubbelt därför täta svängningar upp samt ner liksom den ursprungliga sinusfunktionen äger.

Detta beror alltså vid för att funktionerna äger olika period.

Om oss äger enstaka sinus- alternativt cosinuskurva uppritad inom en koordinatsystem samt önskar ta reda vid vilken period den äger, existerar ofta detta enklaste sättet för att studera från detta horisontella avståndet mellan numeriskt värde från kurvans något som ligger nära eller är i närheten "toppar" (maximala funktionsvärden) alternativt "dalar" (minimala funktionsvärden).

Trigonometri - arcusfunktioner.

Detta avstånd utgör funktionens period.

Som oss ser inom figuren ovan besitter funktionen f(x) = sin x perioden 360°, medan funktionen f(x) = sin 2x besitter perioden 180°.

Förskjutning inom x-led samt inom y-led

Utöver för att sinus- samt cosinusfunktioner förmå äga olika amplitud samt period, är kapabel deras kurvor även existera förskjutna inom x-led och/eller y-led.

Vi besitter redan konstaterat för att ett cosinuskurva är kapabel ses vilket ett sinuskurva liksom existerar förskjuten "åt vänster" inom koordinatsystemet, detta önskar yttra tillsammans avseende vid den oberoende variabeln, tillsammans med 90° jämfört tillsammans motsvarande sinuskurva.

Därför besitter vi

$$f(x)=\cos\,x=\sin\,(x+{90}^{\circ})$$

På liknande sätt kunna oss förskjuta sinus- samt cosinuskurvor inom x-led genom för att addera alternativt subtrahera ett vinkel mot den oberoende variabeln. besitter oss ett sinusfunktion

$$f(x)=\sin\,x$$

och adderar enstaka vinkel 90°, därför för att oss får

$$f(x)=\sin\,(x+{90}^{\circ})$$

så blir dess kurva förskjuten åt vänster tillsammans 90°; subtraherar oss istället ett vinkel 90°, därför får vi

$$f(x)=\sin\,(x-{90}^{\circ})$$

vars kurva existerar förskjuten åt motsats till vänster tillsammans med 90°.

Vill oss istället förskjuta kurvan inom y-led, utför oss vid identisk sätt vilket till andra typer från funktioner, mot modell raka funktioner.

besitter oss enstaka linjär funktion

$$f(x)=5x$$

så förmå oss ju förskjuta den kurvan en steg uppåt inom y-led genom för att addera enstaka konstantterm 1, således för att oss skriver funktionen som

$$f(x)=5x+1$$

På motsvarande sätt kunna oss förskjuta ett sinusfunktion

$$f(x)=\sin\,x$$

ett steg uppåt inom y-led genom för att addera 1 mot funktionsuttrycket, sålunda för att oss får

$$f(x)=\sin\,x+1$$

eller en steg neråt inom y-led genom för att subtrahera 1, således för att oss får

$$f(x)=\sin\,x-1$$

Grafisk svar från trigonometriska ekvationer

Vi besitter tidigare sett hur oss kunna åtgärda trigonometriska ekvationer genom beräkningar samt tillsammans med hjälp från enhetscirkeln, då dessa ekvationer ofta besitter flera tänkbara lösningar.

Vi är kapabel även nyttja oss från ett trigonometrisk funktions graf på grund av för att ett fåtal enstaka perception ifall tänkbara lösningar från ett trigonometrisk ekvation.

---

Vi tittar vid en exempel

Har oss nästa ekvation

$$\sin\,3x=\frac{1}{2}$$

så är kapabel oss ett fåtal ett perception angående dess lösningar genom för att skissa kurvorna

$$f(x)=\sin\,3x$$

och

$$f(x)=\frac{1}{2}$$

Skärningspunkterna mellan dessa båda kurvor kommer för att artikel lösningar från ekvationen.

Lär dig angående dess definitionsmängd, hur man beräknar ut symmetrilinjen samt hur man löser trigonometriska ekvationer.

Detta existerar inom grunden identisk sätt för att åtgärda ekvationer grafiskt likt oss äger använt tidigare, tillsammans den modifikationen för att trigonometriska funktioner existerar periodiska, vilket oss måste ta hänsyn mot då oss anger lösningar.

Vår sinusfunktion besitter perioden

$$\frac{{360}^{\circ}}{3}={120}^{\circ}$$

Undersöker oss skärningspunkterna mellan dem båda kurvorna sålunda ser oss för att oss inom intervallet

$${0}^{\circ}\leq x\leq {120}^{\circ}$$

har numeriskt värde skärningspunkter: enstaka var x = 10° samt enstaka var x = 50°.

Dessa båda x-värden utgör lösningar mot ekvationen.

Men eftersom sinusfunktionen existerar periodisk kommer oss för att behärska hitta ytterligare lösningar angående oss tar hänsyn mot perioden 120°. Därför besitter ekvationen nästa lösningar:

$$x={10}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ}$$

där n existerar en heltal, och

$$x={50}^{\circ}+n\cdot {120}^{\circ} $$

där n existerar en heltal.

Nedan äger oss ett interaktiv animation ifrån GeoGebra tillsammans enstaka enhetscirkel mot vänster samt värdena på grund av trigonometriska funktioner plottas ut inom koordinatsystemet mot motsats till vänster, testa för att välja olika funktioner samt titta hur animeringen förändras samt även för att byta ut mot grader samt radianer.

Knappen "Animate A" startar animeringen från punkten A.